Linear equivalence

Definition / 释义

线性等价：一种“等价关系”，表示两个对象在某种线性结构下可以视为相同或可互相替换。常见于数学语境中：

• 在线性代数里，指两个矩阵/线性变换在某种变换下（如相似变换、合同变换等）属于同一类。
• 在代数几何里，常指除子（divisor）的线性等价：两个除子相差一个主除子（principal divisor），因此在几何/函数空间意义下等价。
  （不同领域的“线性等价”具体定义会略有差别，但核心是“由线性结构诱导的等价”。）

Pronunciation / 发音

/ˈlɪniər ɪˈkwɪvələns/

Examples / 例句

Two matrices can be tested for linear equivalence using elementary row and column operations.
两个矩阵可以通过初等行变换与列变换来检验是否线性等价。

In algebraic geometry, linear equivalence of divisors captures when two divisors differ by the divisor of a rational function, linking geometry to function theory.
在代数几何中，除子的线性等价刻画了两个除子是否只相差一个有理函数的除子，从而把几何与函数理论联系起来。

Etymology / 词源

linear 来自拉丁语 linearis（“线的、与线有关的”），源头是 linea（“线”）。equivalence 来自拉丁语 aequus（“相等的”）+ valere（“有价值/有效”），合起来有“价值相同、在某种意义下相同”的含义。因此 linear equivalence 字面可理解为“在（某种）线性意义下的等价”。

Related Words / 相关词

• Equivalent
• Equivalence
• Linear
• Isomorphism
• Similarity
• Congruence
• Invariant
• Divisor

Literary Works / 文学与经典著作中的用例

• Robin Hartshorne，《Algebraic Geometry》：讨论除子（divisors）与其linear equivalence（线性等价），用于刻画线性系统与映射。
• Phillip Griffiths & Joseph Harris，《Principles of Algebraic Geometry》：在除子、线丛与线性系统的语境下使用并发展线性等价的概念。
• Rick Miranda，《Algebraic Curves and Riemann Surfaces》：在代数曲线/黎曼曲面中用线性等价连接除子与亚纯函数。
• Otto Forster，《Lectures on Riemann Surfaces》：在黎曼曲面理论中通过除子与主除子引入并使用线性等价。